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布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(I)
上传时间:2020-07-08点击:626次

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(I)

在高中数学课程中,对数观念的学习与应用是相当重要的一个单元。不过,在学习的过程中,课程虽然着重在观念的理解,与对数表的应用,却没有明白地告诉学生 $$\log 2,\log 3$$ 等等的对数值,到底是怎幺算出来的。因此,学生对此单元的学习容易因为一知半解的情况,而显得成效不彰。

接下来这一系列的相关文章,将说明布里格斯(Henry Briggs, 1561~1630)在他的《对数算术》(Arithmetica Logarithmica)一书中,所用来建造以 $$10$$ 为底的对数表之几种方法,并希望能将这些方法应用在目前的数学课堂的学习上,让学生可以了解或亲自动手算算这些常用对数的值。

在纳皮尔(John Napier, 1550~1617)的对数着作出版之后,当时在伦敦格莱斯罕学院的布里格斯对这项发明极为钦佩,兴奋地跑到距离 $$400$$ 哩远的苏格兰与纳皮尔会面,这段会面过程是数学史上相当知名的一段故事,根据纳皮尔的朋友约翰.马尔(John Marr)的转述而记录下来:

一切发生在正当纳皮尔因为长久等待打算放弃希望的那一天,当时纳皮尔爵士正和约翰‧马尔聊到布里格斯先生时说:「喔,约翰,布里格斯先生应该不会来了。」,这时一阵敲门声响起,约翰‧马尔急忙跑去开门后发现是布里格斯先生,兴奋地将他带往爵士的房间,他们俩一见面后彼此怀着仰慕之情紧握双手,不发一语地沈浸在感动之间达十五分钟之久,后来布里格斯先开口说:「我尊敬的爵士,我完成这次漫长的旅程只为了要亲自见您一面,并且想要了解起初到底是什幺样智力或创造力的引擎(Engine of Wit or Ingenuity)让您想到这幺优秀的天文学助力(Help unto Astronomy),亦即对数(Logarithms);但是,我尊敬的爵士,现在是你发现了,不过我很好奇在此之前为何没有其他人发现,现在看来它是如此简单。」之后布里格斯豪爽地接受了纳皮尔爵士的款待。从此之后,在纳皮尔爵士活着的每一个夏天,布里格斯都会到苏格兰拜访他。

在会面的讨论过程中,布里格斯曾建议纳皮尔可以把 $$1$$ 的对数定为 $$0$$,另外改成以 $$10$$ 为底。纳皮尔欣然接受,不过,他此时年事已高,已经没有心力再重新计算一套对数表,因此,由布里格斯接手这个工作,他于 1624 年出版《对数算术》,列出从 $$1$$ 到 $$20,000$$,以及从 $$90,000$$ 到 $$100,000$$ 所有整数以 $$10$$ 为底的对数,精确到小数点后第 $$14$$ 位。

此书共 $$32$$ 章,我们将其中与对数表製作有关的几章简介如下。

《对数算术》第 $$1$$~$$4$$ 章

第 $$1$$ 章到第 $$4$$ 章为基本对数观念介绍。第 $$1$$ 章有两个引理,布里格斯先说明等比数列(以 $$a$$ 为底的乘幂,$$a^n$$)与等差数列(次方 $$n$$ 所成的数列)间的对应关係,在此他採用纳皮尔的观点,并将数列间的对应关係扩充到与对数值的对应。

纳皮尔将这个乘方与指数(次方)间的对应观念推广到指数为连续的数,他採用一种运动学的观点,将等差与等比两个数列考虑成质点在线段上的运动,一种是等速运动,另一种与距离成比例。如下图:

布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(I)

直线 $$L$$ 上相邻两点间的距离相同,亦即 $$\overline{AB}=a,\overline{AC}=2a,\overline{AD}=3a,\cdots$$。

因此当 $$P$$ 点在直线 $$L$$ 上等速前进时,经过相等间隔区间的时间都会相等;

而直线M中相邻两点间的距离成等比,亦即当 $$\overline{A’B’}=r$$ 时,$$\overline{A’C’}=r^2,\overline{A’D’}=r^3,\cdots$$。

设 $$Q$$ 点在直线 $$M$$ 上移动,且 $$P$$ 点与 $$Q$$ 点同时分别从 $$A$$ 与 $$A’$$ 点,以相同的初速度出发,

则当 $$P$$ 点经过 $$B,C,D,E,\cdots$$ 等点时,$$Q$$ 点相对地通过 $$B’,C’,D’,E’,\cdots$$ 等点,

亦即 $$Q$$ 点通过相邻间隔的时间也会相等。

因此当 $$P$$ 与 $$Q$$ 分别在直线 $$L$$ 与 $$M$$ 上移动时,满足 $$na \leftrightarrow {r^n}$$ 的对应关係,

其中 $$n$$ 是连续变动的数。

当 $$Q$$ 走到任意点 $$x$$ 时,$$P$$ 会走到 $$y$$ 点,此时纳皮尔将 $$y$$ 视为 $$x$$ 的「对数」。

布里格斯进一步将这种比例关係延伸到对数上:设 $$l_n$$ 为一等比数列的第 $$n$$ 项所对应的对数,则

$$\displaystyle \frac{{{l_{i + m}} – {l_i}}}{m} = \frac{{{l_{i + n}} – {l_i}}}{n}$$

第二个引理为设 $$p,q,r,s$$ 为四个对数值,若 $$p-q=r-s$$,则 $$p+s=q+r$$。

这个引理等价于若 $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$,则 $$\log(ad)=\log(bc)=\log a+\log d$$。

第 $$2$$ 章规定 $$\log 1=0$$,并说明 $$3$$ 个定理,将内容以现代符号表示如下:

$$A1:~\log 2^n=n\log 2;~log 3^m=m\log 3$$

$$A2:~\log xy=\log x+\log y$$

$$A3:~\log \frac{x}{y}=\log x-\log y$$

第 $$3$$ 章说明将以 $$10$$ 为底的对数,定义成 $$10$$ 的次方,即 $$\log 10=1$$;第 $$4$$ 章说明对数的首数(characteristic)。

连结:布里格斯的《对数算术》与对数表的製作(II)  

参考资料:

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